Calculadora de Gauss-Jordan
Resuelve un sistema lineal 2×2 con eliminación de Gauss-Jordan. Introduce los coeficientes de ambas ecuaciones y lee la solución para x e y con los pasos.
Ecuación 1: a11·x + a12·y = b1
Ecuación 2: a21·x + a22·y = b2
Resultado
x = 2, y = 1
Respuesta rápida
Una calculadora de Gauss-Jordan resuelve un sistema lineal 2×2 reduciendo por filas la matriz aumentada [A|b] hasta la forma identidad [I|x]. Para 3x + 2y = 12 y x − y = 1, la calculadora llega a x = 2,8, y = 1,8. Comprobación: 3(2,8) + 2(1,8) = 12. 2,8 − 1,8 = 1. Ambas ecuaciones satisfechas.
Eliminación de Gauss-Jordan: qué hace y qué resuelve
La eliminación de Gauss-Jordan es un método sistemático de reducción por filas que transforma la matriz aumentada de un sistema lineal en su forma escalonada reducida (RREF). En RREF, cada ecuación tiene exactamente una variable líder con coeficiente 1, y todas las demás entradas en esa columna de variable son 0. El resultado se lee directamente como los valores de la solución sin sustitución hacia atrás. Esta calculadora aplica la eliminación de Gauss-Jordan solo a sistemas 2×2: dos ecuaciones con dos incógnitas.
El procedimiento de Gauss-Jordan 2x2 y la matriz aumentada
Matriz aumentada: [a₁₁ a₁₂ | b₁] / [a₂₁ a₂₂ | b₂] Determinante: D = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁ x = (b₁a₂₂ − b₂a₁₂) / D y = (a₁₁b₂ − a₂₁b₁) / D
- Matriz aumentada: [a₁₁ a₁₂ | b₁] / [a₂₁ a₂₂ | b₂]
- Objetivo: RREF [1 0 | x] / [0 1 | y]
- Determinante: D = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁
- Solución: x = (b₁a₂₂ − b₂a₁₂) / D, y = (a₁₁b₂ − a₂₁b₁) / D
Usa la calculadora de Gauss-Jordan en solo 3 pasos
Datos de entrada
- Ecuación 1: coeficientes a₁₁ (de x), a₁₂ (de y), y constante b₁
- Ecuación 2: coeficientes a₂₁ (de x), a₂₂ (de y), y constante b₂
Pasos
- Escribe cada ecuación en forma estándar: [coeficiente de x]x + [coeficiente de y]y = [constante].
- Introduce los seis valores: a₁₁, a₁₂, b₁ para la ecuación 1; a₂₁, a₂₂, b₂ para la ecuación 2.
- Lee la solución x e y; sustitúyela en ambas ecuaciones para verificarla.
Ejemplo práctico de Gauss-Jordan: 3x + 2y = 12, x − y = 1
Resolviendo un sistema lineal 2×2 con coeficientes (3, 2, 12) y (1, −1, 1).
- Determinante D = (3)(−1) − (2)(1) = −5.
- Resuelve x: x = (12 × (−1) − 1 × 2) / (−5) = −14 / (−5) = 2,8.
- Resuelve y: y = (3 × 1 − 1 × 12) / (−5) = −9 / (−5) = 1,8.
- Verifica: 3(2,8) + 2(1,8) = 12 y 2,8 − 1,8 = 1.
x = 2,8, y = 1,8 (valores exactos x = 14/5, y = 9/5).
Cuándo Gauss-Jordan es el método adecuado
Gauss-Jordan es el método estándar de reducción por filas enseñado en álgebra lineal para resolver sistemas de ecuaciones. Para sistemas 2×2, equivale a la sustitución o la regla de Cramer y produce la misma respuesta.
Supuestos
- El sistema tiene exactamente 2 ecuaciones y 2 incógnitas (x e y).
- Todos los coeficientes y constantes son números reales.
- El determinante D = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁ ≠ 0.
Limitaciones
- Resuelve solo sistemas 2×2; no maneja sistemas 3×3 o mayores.
- No identifica si un sistema con D = 0 es inconsistente o dependiente.
- No resuelve sistemas no lineales.
En la práctica
El error de entrada más común es escribir las ecuaciones en forma no estándar antes de leer los coeficientes. Reorganiza siempre cada ecuación a ax + by = c antes de introducir los coeficientes. Si falta x o y en una ecuación (por ejemplo, 3x = 9), fija el coeficiente faltante en 0 (a₁₂ = 0 significa que y está ausente en la ecuación 1). Olvidar un coeficiente cero es la fuente principal de entradas de matriz incorrectas.
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Preguntas frecuentes sobre la calculadora de Gauss-Jordan
¿Qué es la forma escalonada reducida (RREF)?
La forma escalonada reducida es el resultado de aplicar la eliminación de Gauss-Jordan por completo: cada pivote es 1, todas las demás entradas en la columna del pivote son 0, y los pivotes aparecen en orden de izquierda a derecha, de arriba a abajo. Para un sistema 2×2, la RREF se ve como la matriz identidad a la izquierda y los valores de la solución a la derecha.
¿Cuál es la diferencia entre eliminación gaussiana y Gauss-Jordan?
La eliminación gaussiana (solo eliminación hacia adelante) reduce la matriz a forma triangular superior y luego usa sustitución hacia atrás para hallar la solución. Gauss-Jordan va más allá al hacer también la eliminación hacia atrás, produciendo la forma escalonada reducida donde la solución se lee directamente sin sustitución hacia atrás.
¿Qué significa un determinante cero?
Si D = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁ = 0, las dos ecuaciones son paralelas (inconsistentes, sin solución) o representan la misma recta (dependientes, infinitas soluciones). En ambos casos, no hay una solución única para x e y.
¿Puedo usar esto para resolver con tres incógnitas?
No. Esta calculadora maneja solo sistemas 2×2 (dos ecuaciones, dos incógnitas). Un sistema 3×3 requiere una matriz aumentada 3×3 y tres filas de coeficientes de entrada.
¿Cómo se relaciona Gauss-Jordan con la inversión de matrices?
Para un sistema 2×2, Gauss-Jordan aplicado a la matriz aumentada [A|b] produce la solución. Si en cambio la aumentas con la matriz identidad [A|I] y la reduces por filas, el resultado es [I|A⁻¹], la inversa de A. Para matrices invertibles, la solución x = A⁻¹b coincide con el resultado de Gauss-Jordan.
Fuentes
Última actualización: . Revisado para verificar su exactitud con la fórmula anterior.