Cómo hacer eliminación de Gauss-Jordan

La eliminación de Gauss-Jordan resuelve un sistema de ecuaciones lineales transformándolo en una matriz aumentada y aplicando operaciones por filas hasta que la respuesta se lee directamente, sin sustitución hacia atrás. Esta guía recorre el procedimiento con un sistema 2x2: construir la matriz, reducirla a forma escalonada reducida y leer la solución. Para evitar el cálculo manual, usa la calculadora de Gauss-Jordan para obtener el resultado de un sistema 2x2.

Paso a paso:

1. Convierte el sistema de ecuaciones en una matriz aumentada.
2. Usa operaciones por filas para transformar la parte de coeficientes en la matriz identidad.
3. Elimina las entradas no nulas sobre la diagonal y lee la solución en la última columna.

Paso uno: convierte el sistema en una matriz aumentada

Quita los nombres de las variables de cada ecuación y organiza solo los coeficientes y constantes en una tabla, dejando los términos constantes en una columna final separada por una barra vertical. Esta representacion de matriz aumentada permite que cada paso posterior opere solo con números.

Paso dos: usa operaciones por filas para construir la matriz identidad

Aplica las tres operaciones permitidas, intercambiar filas, escalar una fila o sumar a una fila un múltiplo de otra, para convertir las entradas diagonales de la parte de coeficientes en 1 y todas las demas entradas en 0. Esa forma objetivo se llama matriz identidad.

Paso tres: elimina las entradas sobre la diagonal

Trabajando desde la fila inferior hacia arriba, usa las mismas operaciones por filas para eliminar cualquier entrada no nula sobre la diagonal. Cuando la parte de coeficientes contiene solo 1 en la diagonal y 0 en el resto, la matriz está en forma escalonada reducida y la columna de respuestas contiene la solución.

Ejemplo resuelto: sistema 2x2

Ejemplo resuelto: sistema: 2x + 4y = 10, y x - y = -1. Paso 1 (construir matriz): fila 1 es [2, 4 | 10]. Fila 2 es [1, -1 | -1]. Paso 2 (construir identidad): intercambia las filas para que el 1 inicial quede arriba: fila 1 pasa a [1, -1 | -1]. Resta 2 veces la fila 1 a la fila 2: fila 2 pasa a [0, 6 | 12]. Divide la fila 2 entre 6: fila 2 pasa a [0, 1 | 2]. Paso 3 (limpiar sobre la diagonal): suma la fila 2 a la fila 1: fila 1 pasa a [1, 0 | 1].

Respuesta final: x = 1, y = 2. Ambos valores se leen directamente desde la última columna, sin más álgebra.

¿Qué es la forma escalonada reducida?

La forma escalonada reducida es la forma objetivo de la matriz: cada entrada principal en la diagonal es 1 y todas las demas entradas en las columnas de coeficientes son 0. Llegar a esta forma es lo que diferencia Gauss-Jordan de la eliminación gaussiana estándar, porque permite leer el valor de cada variable desde la columna final sin sustitución hacia atrás.

¿Este método sirve para sistemas más grandes?

Sí. Las mismas tres operaciones por filas y el mismo objetivo de forma escalonada reducida aplican a sistemas con cualquier número de variables, no solo dos. Un sistema 3x3 produce una matriz aumentada de tres filas, y un sistema 4x4 produce cuatro filas, siguiendo la misma lógica del ejemplo. La aritmética simplemente requiere más pasos para limpiar cada fila y columna. Consulta el hub de calculadoras matemáticas para herramientas relacionadas.

Fuentes y referencias

• OpenStax, College Álgebra 2e, sistemas de ecuaciones lineales y métodos matriciales.
• Khan Academy, Systems of Equations with Matrices

Aviso: Esta guía tiene fines educativos e informativos. Ofrece procedimientos matemáticos generales y no sustituye la instrucción académica formal. Consulta tu libro de texto o docente de matemáticas para requisitos académicos específicos.