Calculadora de distribución geométrica
Halla P(X=k), P(X≤k) y el valor esperado de una distribución geométrica. Introduce la probabilidad de éxito p y el número de ensayo k para obtener los tres resultados.
Resultado
0,128
Con probabilidad de éxito 0,2, el primer éxito ocurre en el ensayo 3 con probabilidad 0,128
Respuesta rápida
Una calculadora de distribución geométrica computa P(X=k) = (1−p)^(k−1) × p, P(X≤k) = 1 − (1−p)^k, y la media = 1/p. Para una moneda (p = 0,5) y k = 3: P(X=3) = (0,5)² × 0,5 = 0,125, un 12,5 % de probabilidad de que la primera cara sea exactamente el tercer lanzamiento. P(X≤3) = 0,875. Media = 2 lanzamientos.
Qué modela la distribución geométrica en la práctica
La distribución geométrica modela el número de ensayos necesarios para lograr el primer éxito en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes, donde cada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito p. Responde a la pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que el primer éxito ocurra exactamente en el ensayo k? La distribución se aplica cuando cada ensayo es binario (éxito o fracaso), independiente de todos los demás ensayos, y tiene una probabilidad de éxito constante.
Fórmulas de la distribución geométrica: PMF, CDF y media
PMF: P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) × p CDF: P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k Media: E[X] = 1 / p
- P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) × p
- P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k
- Media (ensayo de primer éxito esperado) = 1 / p
Usa la calculadora de distribución geométrica en 3 pasos
Datos de entrada
- p: la probabilidad de éxito en un solo ensayo; debe estar entre 0 y 1, exclusive
- k: el número de ensayo en el que quieres evaluar la distribución; debe ser un entero positivo
Pasos
- Introduce p (la probabilidad de éxito por ensayo) y k (el número de ensayo de interés).
- Lee P(X=k): la probabilidad de que el primer éxito ocurra exactamente en el ensayo k.
- Lee P(X≤k): la probabilidad acumulada de que el primer éxito ocurra en el ensayo k o antes.
- Lee la media = 1/p para el número esperado de ensayos.
Ejemplo de distribución geométrica: control de calidad
Un inspector de calidad revisa placas de circuito con una tasa de defectos del 20 % (p = 0,20) en la 4.ª inspección (k = 4).
- P(X = 4): (1 − 0,20)³ × 0,20 = (0,80)³ × 0,20 = 0,512 × 0,20 = 0,1024.
- P(X ≤ 4): 1 − (1 − 0,20)⁴ = 1 − 0,4096 = 0,5904.
- Media: 1 / 0,20 = 5 inspecciones esperadas.
Hay un 10,24 % de probabilidad de que la primera placa defectuosa se encuentre exactamente en la 4.ª inspección, y un 59,04 % dentro de las primeras 4 inspecciones. Media = 5 inspecciones.
Cuándo aplica la distribución geométrica y cuándo falla
La distribución geométrica se aplica cuando se cumplen tres condiciones: los ensayos son independientes, cada ensayo tiene exactamente dos resultados, y la probabilidad de éxito es constante entre ensayos. Si la probabilidad de éxito cambia entre ensayos, usa la distribución hipergeométrica en su lugar.
Supuestos
- Los ensayos son independientes.
- Cada ensayo tiene exactamente dos resultados (éxito o fracaso).
- La probabilidad de éxito p es constante en todos los ensayos.
- k es un entero positivo (k ≥ 1).
Limitaciones
- No maneja probabilidades de éxito variables.
- No calcula probabilidades para espera en tiempo continuo (usa la distribución exponencial).
- No calcula probabilidades para un rango de valores de k en un solo paso.
En la práctica
La distribución geométrica no tiene memoria: el número de ensayos adicionales necesarios para lograr el éxito no depende de cuántos fallos ya han ocurrido. Formalmente, P(X > m + n | X > m) = P(X > n). Esto significa que si ya has fallado 10 veces, la probabilidad de necesitar al menos 5 ensayos más es la misma que si empezaras de nuevo. Los fallos pasados no aportan información sobre el momento del éxito futuro.
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Preguntas frecuentes sobre la distribución geométrica
¿Para qué se usa la distribución geométrica?
La distribución geométrica modela el tiempo de espera hasta el primer éxito en una secuencia de ensayos independientes con probabilidad de éxito constante. Sus aplicaciones incluyen detección de defectos, simulaciones de juegos, reintentos de transmisión de red, y cualquier proceso donde la pregunta sea cuántos intentos hasta el primer éxito.
¿Cuál es la diferencia entre P(X=k) y P(X≤k)?
P(X=k) es la probabilidad de que el primer éxito ocurra exactamente en el ensayo k. P(X≤k) es la probabilidad acumulada de que el primer éxito ocurra en el ensayo 1, 2, 3, ..., o k.
¿Por qué la media es 1/p?
La media de la distribución geométrica es el número esperado de ensayos hasta el primer éxito. Si la probabilidad de éxito es p, en promedio necesitas intentar 1/p veces. Para p = 0,5, la media es 2; para p = 0,1, la media es 10.
¿Qué es la propiedad de falta de memoria de la distribución geométrica?
La distribución geométrica es la única distribución discreta sin memoria. Sin memoria significa que el número de ensayos adicionales necesarios para el primer éxito es independiente de cuántos fallos ya han ocurrido.
¿Puede p ser 0 o 1?
No. Si p = 0, el éxito es imposible. Si p = 1, el éxito ocurre en el primer ensayo con certeza. La calculadora requiere 0 < p < 1.
Fuentes
Última actualización: . Revisado para verificar su exactitud con la fórmula anterior.