Calculadora de funciones inversas
Halla la inversa de una función lineal f(x) = mx + b. Introduce la pendiente m y la ordenada b para obtener f⁻¹(x) con el método de intercambio y despeje.
f(x) = m·x + b
Resultado
f⁻¹(x) = 0,5x - 1,5
Respuesta rápida
Una calculadora de funciones inversas halla f⁻¹(x) para una función lineal f(x) = mx + b intercambiando x e y, y despejando la nueva y: f⁻¹(x) = (1/m)x − (b/m). Para f(x) = 3x + 6, f⁻¹(x) = (1/3)x − 2. Comprobación: f(f⁻¹(x)) = 3((1/3)x − 2) + 6 = x. Confirmado.
Inversas de funciones lineales: qué halla esta calculadora
Esta calculadora halla la inversa de una función lineal de la forma f(x) = mx + b, donde m es la pendiente y b es la ordenada al origen. Está limitada a funciones lineales (grado 1) únicamente. El método general para hallar cualquier inversa (intercambiar x e y, luego despejar y) se describe conceptualmente más abajo, pero la calculadora implementa y muestra el desarrollo solo para el caso lineal.
La fórmula de la función inversa para f(x) = mx + b
f⁻¹(x) = (1/m)x − (b/m) Derivación: y = mx + b → x = my + b → y = (x − b)/m
- Intercambia x e y: x = my + b
- Despeja y: y = (x − b) / m
- Función inversa: f⁻¹(x) = (1/m)x − (b/m)
- Comprobación de identidad: f(f⁻¹(x)) = x
Cómo hallar la inversa de una función lineal, paso a paso
Datos de entrada
- m: la pendiente (coeficiente de x) en f(x) = mx + b
- b: la ordenada al origen (término constante) en f(x) = mx + b
Pasos
- Escribe f(x) = mx + b e identifica m y b.
- Introduce m y b en la calculadora.
- Lee f⁻¹(x) como (1/m)x − (b/m).
- Verifica la inversa sustituyendo un valor específico de x.
Ejemplo resuelto de función inversa: f(x) = −4x + 12
Hallando la inversa de f(x) = −4x + 12.
- Escribe la función directa: y = −4x + 12.
- Intercambia x e y: x = −4y + 12.
- Despeja y: x − 12 = −4y → y = −(1/4)x + 3.
- Comprueba en x = 4: f(4) = −4, f⁻¹(−4) = 4.
f⁻¹(x) = −(1/4)x + 3.
Cuándo existen las funciones inversas y cuándo no
Una función tiene inversa solo si es biyectiva (uno a uno). Las funciones lineales con m ≠ 0 son siempre biyectivas y siempre tienen inversa. Si m = 0, f(x) = b es una función constante sin inversa.
Supuestos
- f(x) = mx + b con m ≠ 0.
- El dominio y el rango son todos los números reales.
- La fórmula de la inversa es la inversa algebraica.
Limitaciones
- Solo funciones lineales (grado 1); no halla inversas de funciones cuadráticas, exponenciales, logarítmicas o trigonométricas.
- m = 0 no produce inversa.
- No grafica f(x) ni f⁻¹(x).
En la práctica
La aplicación más común de la inversa lineal es convertir entre dos escalas de medida lineales. La conversión de temperatura (Celsius a Fahrenheit es f(x) = (9/5)x + 32; la inversa es f⁻¹(x) = (5/9)(x − 32)) es un ejemplo clásico. Siempre que tengas una fórmula lineal y necesites recorrerla hacia atrás, partiendo del resultado para recuperar la entrada, necesitas la función inversa.
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Preguntas frecuentes: calculadora de funciones inversas
¿Qué es una función inversa?
Una función inversa f⁻¹ revierte la operación de f: si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a. La composición f(f⁻¹(x)) = x y f⁻¹(f(x)) = x para todo x válido. Una inversa existe cuando f es biyectiva.
¿Cómo funciona el método de intercambio y despeje?
Para hallar la inversa: (1) escribe y = f(x), (2) intercambia x e y para obtener x = f(y), (3) despeja y en la ecuación resultante. La y que despejas es f⁻¹(x).
¿Cómo se ve el gráfico de una función inversa?
El gráfico de f⁻¹ es el reflejo del gráfico de f sobre la recta y = x. Si un punto (a, b) está en f, entonces (b, a) está en f⁻¹.
¿Puede invertirse cualquier función?
No. Solo las funciones biyectivas (inyectivas) tienen inversa en todo su dominio. Las funciones constantes (m = 0) y los polinomios de grado par en su dominio completo no pueden invertirse sin restricciones de dominio.
¿Cuál es la diferencia entre f⁻¹(x) y 1/f(x)?
Son completamente distintas. f⁻¹(x) es la función inversa que deshace f. 1/f(x) es el recíproco de f(x): el número 1 dividido por la salida de f. No están relacionadas.
Fuentes
Última actualización: . Revisado para verificar su exactitud con la fórmula anterior.