Calculadora de fracciones parciales
Divide una función racional propia con factores lineales distintos en fracciones más simples, con coeficientes hallados a partir de las raíces de los factores.
Separados por comas, por ejemplo 3, 5 para 3x + 5.
Raíces reales distintas de cada factor lineal, por ejemplo 1, -2 para (x - 1)(x + 2).
Resultado
2,6667/(x - 1) + 0,3333/(x + 2)
La descomposición en fracciones parciales es 2,6667/(x - 1) + 0,3333/(x + 2)
Respuesta rápida
Una calculadora de fracciones parciales reescribe una función racional como suma de fracciones más simples. Para factores lineales distintos, sustituye cada raíz en la fórmula de tapado para hallar su coeficiente. Para (3x + 5) ÷ ((x − 1)(x + 2)), los coeficientes son 8 ÷ 3 y 1 ÷ 3, o 2.6667 y 0.3333.
Cómo funciona la calculadora de fracciones parciales
Una calculadora de fracciones parciales maneja el caso que se enseña primero en cálculo. El grado del numerador debe ser menor que el grado del denominador. El denominador debe dividirse en factores lineales reales. Ninguna raíz puede aparecer más de una vez. Cada factor tiene la forma x − r. La herramienta halla un valor fijo para cada factor. Iguala x a una raíz para resolver ese valor. Esto hace que todos los demás términos se anulen. Suma las fracciones para recuperar la forma original. La nueva suma es más fácil de usar en integrales. Usa la división larga primero cuando el grado superior sea demasiado alto. Usa un método más completo para una raíz repetida o una parte cuadrática.
Cómo se hallan los coeficientes de fracciones distintas
El método de tapado ofrece una forma algebraica directa de resolver los coeficientes para factores lineales distintos.
- N(x) ÷ Π(x − rᵢ) = Σ Aᵢ ÷ (x − rᵢ).
- Aᵢ = N(rᵢ) ÷ Πⱼ≠ᵢ(rᵢ − rⱼ).
N(x): el polinomio numerador.
rᵢ: una raíz real distinta del denominador.
Aᵢ: el coeficiente sobre el factor x − rᵢ.
Π: multiplicación entre todos los factores enumerados.
Σ: suma entre todos los términos de fracciones parciales.
Cómo usar la calculadora de fracciones parciales rápido
Datos de entrada
- Coeficientes del numerador: introduce los coeficientes del numerador en orden descendente de grado, separados por comas.
- Raíces del denominador: introduce raíces reales distintas de la base, separadas por comas.
Pasos
- Verifica que el grado del numerador sea menor que el del denominador.
- Divide el denominador en factores lineales distintos.
- Introduce los coeficientes del numerador y las raíces del denominador.
- Calcula y recombina para verificar el numerador.
Descomposición en fracciones parciales aplicada a números
El numerador N(x) es 3x + 5, las raíces del denominador son r₁ = 1 y r₂ = −2.
- Coeficiente A₁ para el factor (x − 1): N(1) ÷ (1 − (−2)) = (3 × 1 + 5) ÷ 3 = 8 ÷ 3 = 2.6666667.
- Coeficiente A₂ para el factor (x + 2): N(−2) ÷ ((−2) − 1) = (3 × (−2) + 5) ÷ (−3) = 1 ÷ 3 = 0.3333333.
- Escribe la nueva suma descompuesta: (8 ÷ 3) ÷ (x − 1) + (1 ÷ 3) ÷ (x + 2).
- Realiza una comprobación con base común: (8/3)(x + 2) + (1/3)(x − 1) = (9x + 15)/3 = 3x + 5.
(3x + 5) ÷ ((x − 1)(x + 2)) = 2.6667 ÷ (x − 1) + 0.3333 ÷ (x + 2), redondeado a cuatro decimales. Los valores exactos son 8 ÷ 3 y 1 ÷ 3.
¿Es adecuada la descomposición en fracciones parciales?
Usa esta calculadora antes de integrar una fracción propia con raíces reales distintas. Realiza la división larga cuando el grado del numerador no sea menor. Usa un método más completo para raíces repetidas o partes cuadráticas sin raíces reales.
Para otras herramientas de factorización algebraica y fracciones parciales, visita el hub de calculadoras de matemáticas y consulta conceptos en el glosario.
Supuestos
- El grado del numerador es menor que el grado del denominador.
- Las raíces son reales y distintas.
- Cada raíz r da un factor x − r.
- Todos los términos usan la misma variable.
- Se mantiene toda la precisión.
Limitaciones
- Los factores lineales repetidos quedan fuera del alcance actual.
- Los factores cuadráticos irreducibles no son compatibles.
- La calculadora no factoriza el denominador.
- Una fracción impropia necesita primero división larga.
- La salida decimal puede ocultar fracciones exactas.
En la práctica
El error más común es introducir un factor con el signo de raíz equivocado. El factor x + 2 tiene raíz −2, no 2. Escribe cada factor como x − r antes de introducir las raíces. Recombina el resultado para detectar un error de signo.
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Preguntas sobre fracciones parciales con respuestas
¿Para qué se usa la descomposición en fracciones parciales?
La descomposición en fracciones parciales convierte una fracción difícil en una suma de fracciones pequeñas. Cada término pequeño tiene un factor lineal en su base. Esa forma facilita trabajar a mano muchas integrales de cálculo. La misma suma también da una forma clara de verificar raíces y valores fijos.
¿Por qué el grado del numerador debe ser menor primero?
El grado superior debe ser menor para que la forma de tapado funcione por sí sola. Cuando el grado superior es tan alto como el grado de la base, divide primero los dos polinomios. La fracción restante es entonces propia y puede usar el método de raíces.
¿Cómo compruebo los coeficientes de fracciones parciales?
Comprueba los coeficientes poniendo todos los términos pequeños sobre la primera base común. Multiplica cada valor superior por los factores que faltan en su término, y luego suma los nuevos valores superiores. La suma debe coincidir con N(x). Un signo o raíz equivocados detendrán la coincidencia.
¿Esta calculadora puede manejar factores lineales repetidos?
No, la calculadora de fracciones parciales actual no maneja factores lineales repetidos. Un factor repetido como (x − 1)² necesita un término para 1 ÷ (x − 1) y otro para 1 ÷ (x − 1)². Ese caso queda fuera de la herramienta actual.
¿El método de tapado es lo mismo que la sustitución?
Para raíces distintas, el método de tapado es lo mismo que la sustitución estratégica. Iguala x a una raíz tras despejar las fracciones. Todos los demás términos se anulan, así que queda un solo valor fijo. Pon los términos de vuelta sobre una base común para comprobar la suma.
Fuentes
Última actualización: . Revisado para verificar su exactitud con la fórmula anterior.